BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET

A) Distribusi Seragam

Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang semua perubah acaknya mempunyai        probabilitas yang sama. Distribusi ini disebut distribusi probabilitas seragam diskret.

• Definisi (3.1)  Jika perubah acak X mendapat nilai                                                dengan probabilitas yang sama , maka distribusi probabilitas diskret diberikan oleh:

       

·         Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa  distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x

•  Tabel  Distribusi proabilitas X

x	1	2	3	4	5	6
F(x;k)=f(x)

Contoh (3.1)

 Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6. Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni   f(x;6)=1/6,  untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Teorema (3.1) Nilai rata-rata (mean) dan variansi distribusi seragam diskret f(x;k) adalah

                      Mean(X),                                                 Varian (X),

                                                                             

                                                                                    atau

Bukti sbb:

             

dan

Contoh (3.2)

       Cari mean dan variansi dari contoh (3.1)

Jawab:

 

B. Distribusi Binomial dan Multinomial

                           Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil  yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori yaitu  sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli.  Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:

1.      Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

2.      Mempunyai definisi 3.2. Banyaknya sukses X dalam usaha suaatu percobaan binomial disebut PA binomial

3.      Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal

4.      Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya.

5.      Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Contoh (3.3)

                        Tiga barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik, diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Misalkan yang cacat disebut cacat. Maka banyaknya kesuksesan mer upakan perubah acak X dengan nilai nol sampai 3.

     

Tabel 3.2.                   

  C=cacat ; T=tidak cacat (baik)

Karena barang diambil secara acak, dan misalkan  dianggap menghasilkan 25% barang cacat, maka

   

  Probabilitas untuk hasil kemunkinan yang lain dilakukan dengan jalan yang sama.

X	Hasil
0 1 1 1 2 2 2 3	TTT TCT TTC CTT TCC CTC CCT CCC

tabel 3.3 Distribusi probabilitas X

X	0          1           2            3
f(x)

Percobaan Binomial

            Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah acak binomial”, dan distribusi  dari perubah acak ini disebut “distribusi Binomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n)

            Misalnya:   X= banyaknya barang yang cacat.

            Selanjutnya menentukan rumus yang  memberikan proailitas x sukses dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p)     

Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu. Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan probabilitas q=1-p . Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah

ini dinyatakan sebagai           Karena pembagian tersebut saling terpisah (bebas) maka probabilitasnya

adalah

Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

 

Contoh (3.4)

 Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

Jawab: Misal tiap pengujian saling bebas

Catatan:  

                       

Contoh (3.5)

 Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang:

       a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh

       b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh

       c).  tepat 5 orang yg sembuh

Jawab:

             a) Mis:  X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh

            Diket :  p = 0.4     n = 15

Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

b)

Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779

c)

Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859

  Tabel 3.4) Cara menggunakan tabel binomial

n	r	p
		0.01	. . . . . . .	0.4	. . . . . . . . .
15	1
	2			0.0271
	: : :
	8			0.9050
	9			0.9662
	: :
	15

Untuk n=15, p=0.4                                                

Cara lain mencari nilai distribusi Binomial:

Gunakan software R , langkahnya  sbb:

            > pbinom(9,15,0.4)

            [1] 0.9661667

            > pbinom(8,15,0.4)

            [1] 0.9049526

            > pbinom(2,15,0.4)

            [1] 0.027114

            > pbinom(5,15,0.4)

            [1] 0.4032156

            > pbinom(4,15,0.4)

            [1] 0.2172777

Teorema(3.2)

             Distribusi Binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan variansi sbb:

Contoh (3.6)

             Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.5) kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 

Jawab:

Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4

Diperoleh:                              

dan

Menggunakan teorema Chebyshev                         adalah

Jadi, selang yang ditanakan adalah  dari 2.206 sampai 9.794

 Percobaan Multinomial

                 Percobaan binomial akan menjadi percobaan multinomial jika tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin. Misalnya hasil produksi pabrik dapat dikelompokan menjadi barang baik, cacat, dan masih bisa diperbaiki.

                 Bila suatu usaha dapat menghasilkan k macam hasil

Dengan probabilitasnya                                             maka distribusi perubah acak  yang menyatakan banyaknya kejadian

Dalam n-usaha bebas adalah  

Dengan                                          dan                        

Contoh (3.7)

            Dua buah dadu dilantunkan 6 kali, berapa probabilitas akan mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kominasi lainnya 3 kali?

Jawab:

   Misal: E1= muncul jumlah 7 atau 11           p(E1)=2/9

              E2= muncul pasangan bilangan yang sama         p(E2)=1/6

              E3= muncul selain E1 maupun E2       p(E3)=11/18

 Nilai initidak berubah dari ke6-usaha. Menggunakan distribusi multinomial dengan x1=2, x2=1 dan x3=3 diperoleh:

C. Distribusi Hipergeometrik

                        Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomial terletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi ini hampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomial diterapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu, sejumlah hasil produksi) sampling harus dikerjakan dengan pengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusi hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada sampling tanpa pengembalian.

Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat:

1.      Definisi (3.3) banyaknya sukses X dalam percobaan hipergeometrik disebt PA geometric

2.      Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N  benda.

3.      Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k diberi nama gagal.

Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k gagal dinyatakan sebagai:

 

Contoh (3.8)

            Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5 fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang duduk dalam panitia.

Jawab:           

Misalkan:   X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.

                        X={0,1,2,3}

     Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus

  

 

Tabel 3.6   Distribusi hipergeometrik

x	0	1	2	3
h(x;8,5,3)

Teorema(3.3)

             Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan variansi sbb:

                              Dan

Contoh (3.9)

             Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang

Jawab:

Dari contoh 3.8 diketahui n=15 dan p=0.4

Diperoleh                                                                          

dan

Menggunakan teorema Chebyshev                          

adalah

Jadi, selang yang ditanakan adalah  dari -0,741 sampai 1,491

D.  Distribusi Poisson

                        Percobaan yang menghasilkan prubah acak X ynag menyatakan banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut “distribusi poisson”.

            Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut:

1.      Definisi (3.4) banyaknya sukses X dalam suatu percoaan Poisson disebut suatu PA poisson, distribusi peluang suatu PA Poisson X disebut distribusi poisson dan akan dinyatakan dengan p(x: ), karena nilainya hanya tergantung pada  yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu.

Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang)

          waktu tertentu independen dengan daerah lainya.

      2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak 

          tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang.

      3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang

          sempit diabaikan.

     Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan dengan                                   , dimana            adalah rata-rata hasil.  

Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t, dinyatakan:

           

dimana: e=2,71828 dan        menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu.

            Misalkan                          , untuk beberapa nilai  tertentu dari 0,1 sampai 18 diberikan pada tabel Poisson.  Atau  dengan bantuan software R   

Contoh (3.10)

             Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak mampu melayani.

Jawab:

             Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari

                              X = {1, 2, 3, . . . . . , 15}

             Maka

                         Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi = 0.0487

•       Cara lain, jika tidak menggunakan tabel, gunakan program R, langkahnya sbb:

                        > ppois(15,10)

                        [1] 0.9512596

            Artinya:

Teorema(4.4)

             Distribusi poisson                          mempunyai rata-rata dan variansi sbb                        dan              

Contoh (5.10)

             Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu penghiung selama 1 milidtik dalam suatu percobaan di laoratoium adalah 4. berapa probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik tertentu. Kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang

Jawab:

     dari tabel poisson dengan                                                         diperoleh  

 

dari                                                                 diperoleh

Jadi, selang yang ditanakan adalah  dari 0 sampai 8

Teorema(3.5)

             Misalkan X perubah acak binomial dengan distribusi probabilitas b(x,n,p). Jika n                p             dan                      tetap sama maka

Contoh (3.11)

             Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit dipasarkan. Jika diketahui rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapa probailiasnya bahwa dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan erisi kurang dari 7 yang bergelembung?

Jawab: 

            n=8000, p=0.001  dihampiri dengan distribusi poisson dengan

diperoleh menggunakan tabel:   

Jika tidak menggunakan tabel, cara lain, gunakan R, langkahnya

      > pbinom(6,8000,0.001)

      [1] 0.3132521

     > ppois(6,8)

     [1] 0.3133743

Diperoleh

 

Dan

E. Distribusi Binomial Negatif dan Geometrik

Apabila suatu percobaan yang sifatnya sama dengan percobaan binomial, tetapi tidak melakukan usaha yang diulang sampai terjadi sejumlah sukses tertentu. Peluang x sukses dan n usha, jika n tetap sekarang ingin diketahui peluang bahwa sukses ke-h terjadi pada usaha ke x maka percobaan ini disebut percobaan binomial negative.

Definisi (3.5) banyaknya usaha X untuk menghasilkan hasil sukses dalam suatu percobaan binomial negative disebut Peubah Binomial Negatif

Distribusi Binomial Negatif

Bila usaha yang saling bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q=1-p, maka distribusi peluan PA x, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k diberikan oleh

Contoh(3.12)

            Carilah peluang seseorang yang melantunkan tiga uang logam sekaligus akan mendapat semua angka atau sema gambar untuk kedua kalinya pada pelantunan yang ke 5

Jawab:

1

2

3

4

5

                Salah satu AAA atau GGG                                                                           AAA atau GGG

Antara kotak nomor 1 sampai 4, juga ada satu kotak yang berisi AAA atau GGG sedangkan kotak lainyya (sebanyak tiga kotak) berisi selain AAA atau GGG pada pelantunan tiga uang logam kemungkinan yang muncul sebagai berikut:

AAA =0

AAG, AGA, GAA=1

GGA, AGG, GAG=2

GGG=3

Distribusi peluang sebagai berikut:

X	0	1	2	4
X

P(AAA atau GGG)=p(x=0)+p(x=3)

                            =, sehingga kita dapat menggunakan distribusi binominal negative

Dengan x=5, k=2 dan p=

 

                pandang hal khusus dari distribusi binominal negative, yaitu bila k=1. Denagn kata lain distribusi peluang banyaknya usaha yang diperlukan untuk mendapat sukses yang pertama sehingga distribusi  Hal ini bisa dinamakan distribusi geometric dan dinyatakan dengan

Distribusi Geometrik

Bila usaha saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1-p, maka distribusi peluang PA x yaitu banyaknya usaha yang berakhir pada sukses yang pertama, diberikan oleh

Contoh (3.13)

                Dalam proses produksi diketahui bahwa rata-rata 1 diantara 100 butir hasil produksi cacat. Erapa peluang memeriksa 5 butir dan baru menemukan yang cacat pada yang ke lima

Jawab: gunakan distribusi geometric dengan x=5 dan p=0,01